附录A 精通博弈论

成败论英雄。

——谚语

第1章 威胁、承诺与序列博弈

1.图A-1的博弈可能会出现什么结果?

图 A-1

2.图A-2的博弈可能会出现什么结果?

图 A-2

3.在图A-3、A-4和图A-5的博弈中,2号参与者威胁说,假如1号参与者先对他坏心,他就会对1号参与者坏心。在哪几个博弈中,别人会相信2号参与者的报复威胁?

图 A-3
图 A-4
图 A-5

4.昨天你用8美元买了一张电影票。等你今天到电影院时,才发现票弄丢了,此时你该不该再买一张?

第2章 识破价格战的危机

5.假设三个人要在纸上写下金额,而且不可以说出来。他们必须在0~100元之间挑一个整数,所写数字最小的人则可以得到他所写的金额。假如有平手的情形,总奖金则由赢的人平分。所以如果:

·甲写53元。

·乙写22元。

·丙写30元。

那么乙就可以得到22元。假如丙也写了22元而不是30元,那么乙和丙就会各得到11元,因为他们要平分22元。在所有人都很理性的情况下,找出这个博弈的合理结果。

第3章 同步博弈

6.从图A-6、A-7、A-8的博弈中找出协调博弈、猜硬币博弈和懦夫博弈。

图 A-6
图 A-7
图 A-8

7.消除完全白痴策略,以解答图A-9中的博弈。

图 A-9

8.假设在图A-10、图A-11和图A-12的博弈中,你是2号参与者。每个博弈都是你先行动,接着你可以选择要不要让1号参与者看到你如何行动,最后才由1号参与者采取行动。在哪几个博弈中,你希望让1号参与者看到你如可行动?

图 A-10
图 A-11
图 A-12

第4章 大规模协调博弈

9.智能键盘与大规模协调博弈以及网络外部性有什么关系?

第5章 纳什均衡

10.从图A-13、A-14和A-15中找出所有的纳什均衡。

图 A-13
图 A-14
图 A-15

11.有两个厂商都会做配件。1号厂商做一个配件的成本是10元,2号厂商做一个配件的成本则是13元,现在两个厂商要决定配件的售价。谁卖得便宜,顾客就会买谁的配件。但基于某种原因,假如两个厂商把价格定得一样,所有的顾客都会找1号厂商。这个博弈的纳什均衡是什么?

第6章 囚徒困境

12.从图A-16到图A-19的博弈中找出哪几个是囚徒困境博弈。

图 A-16
图 A-17
图 A-18
图 A-19

13.图A-20和图A-21的两个囚徒困境博弈会一直重复,而且没有确切的截止日期。哪个博弈的参与者更可能出卖对方?

图 A-20
图 A-21

14.图A-22和图A-23的两个囚徒困境博弈会一直重复,而且没有确切的截止日期。哪个博弈的参与者更可能出卖对方?

图 A-22
图 A-23

第7章 逆向选择

15.你在搬家后想找一位新牙医,但你可能只想找至少好几个月内都排不出时间的牙医,为什么?

16.你在9个信封里各装了100元,第10个信封则没有装东西。你把这些信封混在一起后,黛比随便挑了一个信封打开来看。吉姆提议出一笔钱买下黛比所挑选的信封,但吉姆在提出这项建议时,并不知道黛比的信封里有没有钱。黛比可以接受吉姆的出价,也可以拒绝出价并把信封留下来。吉姆应该出多少钱来买黛比的信封?

17.你想买一辆车,但无法判断它的价值。你觉得这辆车质量优良或不值得买的概率各占一半,但汽车的质量只有卖方才知道。下面列出了汽车对你和卖方的价值。

在这个博弈中,你要出价买车。假如出价被拒绝,博弈即告结束。即使车子有一半的概率质量优良,你还是不应该花钱购买,为什么?

第8章 有限信息下的生存

18.咱俩商定:你参加一个游戏节目,现在要从三个密封的箱子中选择一个。其中两个箱子是空的,另一个箱子里则有大奖。你并不知道奖在哪一个箱子里,但主持人知道。主持人先要你选一个箱子,接着他把你没有选的空箱子打开,以证明它是空的。最后主持人给你换箱子的机会,你可以把你所选的箱子换成另一个没开的箱子。此时换箱子有好处吗?

19.99%正确的艾滋病检验:你刚做完艾滋病检验。你对艾滋病的传染途径很了解,而且谢天谢地,你几乎可以确定自己没有得病。不过,任何事都有可能发生,所以你估计自己得到艾滋病的概率是十万分之一。你所做的艾滋病检验虽然准确,但并非万无一失。这项检验的正确率是99%,这表示假如你有艾滋病,检验有99%的概率会呈现阳性反应;假如你没有艾滋病,检验则有99%的概率会呈现阴性反应。你拿到了检验报告,结果呈阳性,你应该担心到什么程度?

20.纽康问题(Newcomb's Problem):有一个绝顶聪明的人在你面前摆了两个密封的箱子,A箱里一定有1000元,B箱里如果不是有100万元,就是空空如也。你可以选择只拿B箱,也可以选择A、B箱都拿。

你的选择看起来可能很简单,但这个绝顶聪明的人是个预测高手。假如他觉得你只会选择B箱,他就会在那个箱子里放100万元。假如他觉得你会贪心地把两个箱子都拿走,他就会让B箱空空如也。你该如何选择?别忘了,这个人会在你选之前就先选好。这个问题就是所谓的纽康问题。

21.金为了卖车而跟约翰协商,这辆车对约翰值5000美元,对金值3000美元。这两个人都这辆车了如指掌,所以没有逆向选择的问题。约翰会出价来买这辆车,假如他的出价遭到拒绝,博弈即告结束。约翰应该出多少钱?

22.本有一个比尔很想要的古董,本认为它值3000美元,比尔认为它值5000美元。在不知道协商会如何进行的情况下,我们如何猜测可能的结果?

23.条件跟问题22一样,但现在假设辛蒂也想买这件古董,而且愿意出5000美元来买。在不知道协商会如何进行的情况下(比尔和辛蒂确定不会串通),我们如何猜测可能的结果?

练习题解答

1.1号参与者选A,2号参与者选U,这个结果会使双方各得到20的报酬。1号参与者不会选C,因为要是他选了C,2号参与者只要选Z就可以得到最大的报酬,并使1号参与者得到0的报酬。2号参与者希望能以可信的方式向1号参与者保证,假如1号参与者选C,他就会选Y。不过,这种保证并不可信,因为要是1号参与者选了C,2号参与者选Z的报酬会比选Y的报酬更多。

2.1号参与者应该立即往下并结束博弈。假如博弈到达最后一点,2号参与者就会往下拿4单位的报酬,而不会横移只拿3。因此,在倒数第二点时,1号参与者应该往下拿3,而不要横移,以免2号参与者往下时,自己只能拿到2。按照同样的模式,你可以看出往下而不是横移对自己一定更有利。这样的结果似乎很不划算,因为双方如果能互相合作而达到最后一点,彼此的结果都会好得多。可惜正如博弈论所说,双方的报酬注定会因为理性的怀疑而降低。

3.这个威胁只有在图A-3和图A-4中才可信。只有当坏心比好心对2号参与者更有利时,他(针对1号参与者的坏心)所提出的坏心威胁才可信。

4.你应该再买一张票。损失的8元是无关紧要的沉没成本,所以你应该置之不理。除非你得到了与这部电影有关的新消息,否则昨天值得花8元看的电影今天还是应该值8元。

5.解答:这三个人都选择1元。首先要注意的是,绝对没有人应该写100元。假如你选择100元,对你最好的可能结果就是你的两个对手也写100元。

(假如有一个人写了其他任何数字,你就会一无所有。)在这种情况下,你就会得到33.33元。但如果别人都写100元,你写99元就比较有利,你就会得到99元。因此,在唯一可以凭借写100元赢钱的情况下,写99元对你便比较有利。如此一来,写99元带给你的报酬一定比写100元要好或者相等。换句话说,你绝对不应该选100元,而应该假定别人都不会选100元。

既然100元绝对不会被选,因此任何一个人都不应该写99元。假如你要选99元,唯一的获胜希望就是两个对手也写99元(因为这两个对手都不会选100元)。不过如此一来,你就只能拿到33元。假如两个对手都写99元,写98元对你就比较有利,因为这样你就不必平分这笔钱。因此,在唯一可以凭借写99元赢钱的情况下,写98元对你便比较有利。换句话说,你绝对不应该写99元。你能看出其中所形成的规律吗?

你该不该写98元?关于这点,既然没有人会选99元或100元,因此唯一可以凭借98元赢钱的机会就是两个对手也选98元。但在这种情况下,写97元对你会比较有利,因此98元便告出局。这个过程会一直持续到剩下1元为止。你不会想要0元,因为如此一来,你一定会一无所有。你宁可平分1元,也不愿意一无所有。所以在这个博弈中,唯一合理的结果就是每个人都选择1元。当大家可以平分100元时,只有1元可以分似乎很不值得。不过,博弈论的逻辑会迫使博弈各方互相杀价,因而使可赚的钱几乎消失殆尽。

6.图A-6是懦夫博弈,图A-7是协调博弈,图A-8是猜硬币博弈。在图A-6中,男子汉策略是1号参与者选A、2号参与者选X。假如一方选择男子汉策略,另一方选择懦夫策略,采取男子汉作风的人就会压倒对手。

图A-7是协调博弈,因为双方都想要和对方合作,以选择A、X或B、Y。双方应该把自己的行动告诉对方。假如1号参与者选A,他就会希望2号参与者知道这一点,好让他选择X。同样,假如1号参与者要选B,他就会希望2号参与者知道他的做法,好让他选择Y而不是X。

图A-8是猜硬币博弈,因为双方都想要隐瞒自己的策略。因此,1号参与者想要隐瞒自身的做法,以迫使2号参与者设法猜赢他,而2号参与者也会采取类似的猜透策略。

7.A、Y;先消除2号参与者的策略X(画一条线把它划掉)。当策略X消除后,你就可以消除1号参与者的策略B(画一条线把它划掉),因为如果2号参与者选X,1号参与者就只会考虑选B。此时你可以消除2号参与者的W选项,最后再消除1号参与者的策略C。这会造成1号参与者选A、2号参与者选Y。

8.图A-10的B是懦夫博弈,X是男子汉博弈。2号参与者会选X,然后把自己的做法告诉1号参与者,使选A符合1号参与者的利益。

在图A-11中,1号参与者一定会采取其优势策略A。因此,1号参与者有没有看到2号参与者的做法都无关紧要,因为1号参与者的选择一定都一样。

从图A-12中可以看到,2号参与者的策略W是完全白痴策略,所以绝对不会被采用(画一条线把它划掉)。当策略W消除后,1号参与者的策略A就会变成完全白痴策略,所以它也应该被消除。它所形成的博弈是协调博弈,双方都想选B与X或是选X与Y。它就像所有的协调博弈一样,2号参与者希望让1号参与者知道他会怎么做。

9.智能键盘在所有英文键盘上几乎都是左上方的头五个字母。每个人都使用同样的键盘实际上有好处,这样大家才容易换用不同的键盘。因此,大部分键盘使用者都会不约而同地采用同一种键盘。

10.在图A-13中,A、X是唯一的纳什均衡。A是1号参与者的优势策略,X是2号参与者的优势策略。由于优势策略无论如何都会使参与者得到比较好的报酬,因此参与者一定会后悔没有采取优势策略。所以如果有优势策略,参与者在任何纳什均衡中都一定会采用。

在图A-14中,A、Y和B、W是纳什均衡。假如1号厂商选A,2号厂商最好的办法就是选Y,所以2号参与者会很乐意选Y来响应A。同样,假如2号厂商选Y,1号厂商最好的办法就是选A,所以A、Y就是纳什均衡。按照同样的道理,我们也可以看出B、W是纳什均衡。X是2号厂商的完全白痴策略,所以它绝对不是任何纳什均衡的一部分,因为2号厂商一定不愿意选X。A、W并不是纳什均衡,因为假如2号厂商选W,1号厂商就会不愿意选A,因为选B会得到比较好的报酬。B、Y并不是纳什均衡,因为假如1号厂商选B,2号厂商就会后悔选Y,因为选W来响应B会得到比较好的报酬。

图A-15是我们曾经看过的一分钱配对博弈,同时也是一个猜硬币博弈。还记得在猜硬币博弈中,参与者一定是随便选。在这个博弈中,哪一方一定会选择哪一种策略的纳什均衡并不存在。举例来说,假设1号厂商选A、2号厂商选X,那么2号厂商就会后悔没有选Y来响应1号厂商所选的A。在这四种可能的组合中(A、X;A、Y;B、X;B、Y),一定都会有一方后悔自己的选择。虽然本书不鼓励这种结果,但双方随便选并平均分配每种策略的次数也是一种纳什均衡。

11.有一个纳什均衡是,两个厂商都卖13元。这个结果是纳什均衡,因为如果2号厂商卖13元,1号厂商卖超过13元就会没有生意,卖13元以下则会抢走所有的生意。因此,假如2号厂商卖13元,1号厂商的最佳回应之道就是也卖13元。假如1号厂商卖13元,那么2号厂商就不可能想到赚钱的办法。假如2号厂商卖不到13元(这也是2号厂商的生产成本),那么它卖得越多就会赔得越多。假如2号厂商卖13元以上,那么它就会没有生意。因此,假如1号厂商卖13元,2号厂商并不会后悔卖13元,因为它不可能有更好的选择。

有任何一个厂商可以卖超过13元的纳什均衡并不存在。假如发生了这种情况,两个厂商都想把价格压得比对方低一点,并抢走所有的生意。厂商把售价定得比成本低而导致赔本的纳什均衡不可能存在,因为厂商与其这么做,倒不如卖得很贵而没有生意。

但除了两个厂商都卖13元以外,还有很多其他的纳什均衡。假如两个厂商把售价定得一样,而且价格在10~13元之间,那么这也是一个纳什均衡。按照假设的条件,在这些均衡中,所有的客户都会去找1号厂商,于是2号厂商便无利可图。但别忘了,假如1号厂商卖不到13元,2号厂商就不可能赚到钱。因此,假如1号厂商卖不到13元,2号厂商便不会后悔选择无利可图(而不是赔钱)的策略。此外,假如2号厂商把售价定在10~13元之间,1号厂商还是可以从每位顾客身上赚到钱,所以它会把售价定得越高越好,并照样抢走所有的生意。因此,假如2号厂商把售价定在10~13元之间,1号厂商的最佳回应之道就是制定同样的价格。

12.图A-17和图A-18的博弈是囚徒困境。如果要形成囚徒困境博弈,双方的优势策略一定都是坏心;而且对双方来说,(好心,好心)的结果一定要比(坏心,坏心)更好。图A-16并不是囚徒困境博弈,因为好心是甲的优势策略。图A-19也不是囚徒困境博弈,因为对乙来说,(坏心,坏心)的结果比(好心,好心)的结果有利。

13.假如对手选择好心,你在图A-20中选择好心就可以多得2分,在图A-21中选择坏心则可以多得15分。因此,背叛在图A-21中比较有利(所以也相对可能成真)。

14.一旦你背叛了对手,最后可能会得到(坏心,坏心)的结果。这个结果愈糟,背叛的好处就愈少。因此,背叛在图A-23中要付出比较高的代价(所以也相对不可能成真)。

15.病人最想看的应该是会讨好现有患者的医生,这种牙医一定有一大群新患者慕名而来,客源迅速流失的差劲牙医则有很多空闲时间。这种一预约就可以排出时间的牙医可能是你最不应该张嘴任其摆布的人。

16.吉姆应该出零元来买这个信封。假如吉姆以任何低于100元的价格来买这个信封,那么除非信封是空的,黛比才会接受。举例来说,假如吉姆出5元来买这个信封,那么当信封是空的时,黛比就会接受5元;当里面有100元时,她则会予以拒绝。

17.假如你出不到6000美元来买这辆车,那么当汽车质量很好时,卖方一定会拒绝你的出价。所以假如你出200美元来买这辆车,你的出价会有一半的可能被拒绝、一半的可能被接受,但你还得付200美元来买这台没有用的废物。因此,你绝对不会想出低于6000美元的价格。假如你出6000美元以上,你只有一半的可能买到高质量的车。所以你有一半的可能买到价值1万美元的产品、有一半的可能买到垃圾,平均价值是5000美元。因此,你不应该花6000美元以上来买平均价值只有5000美元的东西。

18.你肯定应该换箱子。我们把三个箱子分别标识为A、B、C,并假设你选的是A箱。显然奖品在A箱里的概率是1/3,在B箱或C箱里的概率是2/3。B箱和C箱可能有一个是空的,也可能两个都是空的。因此,当你选了A箱后,主持人很可能会打开B箱或C箱,以显示里面是空的。在这种情况下,主持人的举动并不会影响奖品在A箱里的概率。在主持人打开另外两个箱子的其中一个前,奖品在A箱里的概率是1/3;当他打开其中一个箱子后,奖品在A箱里的概率还是1/3。我们假设主持人打开了B箱,以告诉你它是空的。现在既然A箱有奖品的概率是1/3,B箱有奖品的概率是0,因此C箱有奖品的概率便是2/3。在这种情况下,你应该换成C箱,因为它会使你赢的概率提高一倍。

19.你真的不必太过担心,因为你几乎可以确定没有得艾滋病。为了说明这一点,假设有100万人跟你一样做了检验。这些人得艾滋病的概率是十万分之一,所以在这100万人中,得病的会有10个,没有得病的则会有99.999万个。当这些人接受检验时,这9或10个患有艾滋病的人会呈现出阳性反应,另外99.999万个没有得病的人则会有1%出现错误的阳性反应,换算成人数大概是1万人。因此,绝大多数人所呈现的阳性反应其实都是误判。当你拿到阳性的检验结果时,真正得到艾滋病的概率大概只有千分之一。

这个结果看起来十分诡异,因为检验的正确率有99%。不过,当你拿到检验结果时,等于有两种信息:一是检验结果,二是你刚开始几乎可以确定自己没有得艾滋病。你不要只是因为检验结果呈阳性就把第二种信息丢在一边,你反而应该用检验结果来调整自己的想法,也就是把这两种信息结合起来看。当你用没有得艾滋病的概率99%来(稍微)平均得到艾滋病的概率十万分之一时,你得艾滋病的概率大概是千分之一。

20.纽康问题并没有公认的答案。既然在你决定要选哪一个箱子前,这个绝顶聪明的人已经做好了决定,所以把两个箱子都拿走似乎才合理。毕竟不管他有没有放钱在B箱里,把两个箱子都拿走对你一定比较有利。当然,假如这个人真的有办法预测你的行动,而你拿走了这两个箱子,那么你就只能得到1000元;但如果你只选B箱,你就会得到100万元。

21.约翰应该出比3000美元高一点点的价格来买这辆车。由于金如果不接受出价,就必须结束协商,所以假如他很理性,他就会接受任何高于3000美元的出价。

22.本会以3000到5000美元之间的价格出售古董。

23.本会以5000美元把古董卖给比尔或辛蒂,而没有其他合理的结果。举例来说,认为本会以4000美元把古董卖给比尔并不合理,因为辛蒂会向比尔出更高的价钱。只要价格低于5000美元,结果就不会稳定,因为没有买到东西的买主会想要出更高的价钱。